Question

已知函数，其中为自然对数的底数.

（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；

（Ⅱ）若函数存在一个极大值和一个极小值，且极大值与极小值的积为，求的

值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）所求面积为. （Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ），    当时，，

，，所以曲线在处的切线方程为切线与轴、轴的交点坐标分别为，， 所以，所求面积为.

（Ⅱ）因为函数存在一个极大值点和一个极小值点，

所以，方程在内存在两个不等实根，

.  ，则

设为函数的极大值和极小值，

则，，

因为，，所以，，

即，，，

解得，，此时有两个极值点，所以.

考点：本题主要考查导数的几何意义，直线方程，应用导数研究函数的单调性及极值。

点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，（2）涉及方程实根的讨论及研究，运用了韦达定理，轻声道切线斜率，等于函数在切点的导函数值。