Question

【题目】设递增数列共有项，定义集合，将集合中的数按从小到大排列得到数列；

（1）若数列共有4项，分别为，，，，写出数列的各项的值；

（2）设是公比为2的等比数列，且，若数列的所有项的和为4088，求和的值；

（3）若，求证：为等差数列的充要条件是数列恰有7项；

Answer 1

【答案】（1），，，，；（2），；（3）证明见解析；

【解析】

(1)根据题意从小到大计算中的值即可.

(2)易得数列的所有项的和等于中的每个项重复加了次,再根据等比数列求和即可.

(3)分别证明当时,若为等差数列则数列恰有7项以及当数列恰有7项证明为等差数列即可.

(1)易得当,,,时, ,

,,,

.

(2)若是公比为2的等比数列,且,则数列的所有项的和等于中每一项重复加了次,故.即,又,故,易得随着的增大而增大.

当时,

当时,

当时,

故,此时.

(3)证明：

先证明充分性：若,且为等差数列,不妨设,则数列也为等差数列为的等差数列.且最小值为,最大值为.

故数列恰有7项.

再证明必要性：

若数列恰有7项.

则因为.

故的7项分别为.

又,可得,即.

同理有,故为等差数列.

综上可知, 若,则为等差数列的充要条件是数列恰有7项