题目内容

某同学参加某高校自主招生3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为
4
5
，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＜q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
ξ 0 1 2 3
pi
6
125
 x y
24
125
（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p，q的值；
（Ⅱ） 求数学期望Eξ．
分析：（Ⅰ）用Ai表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i=1，2，3．由题意得P(A1)=
4
5
，P(
.
A
1
.
A
2
.
A
3)=
6
125
，由此能求出该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率．从而能够求出p，q的值．
（Ⅱ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出其概率，由此能够求出数学期望Eξ．
解答：解：用Ai表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i=1，2，3．
由题意得P(A1)=
4
5
，P(
.
A
1
.
A
2
.
A
3)=
6
125

（Ⅰ）该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率为P=1-P(
.
A
1
.
A
2
.
A
3)=1-
6
125
=
119
125

P(
.
A1
.
A2
.
A3
)=(1-P(A1))(1-P(A2))(1-P(A3))=
1
5
(1-p)(1-q)=
6
125

及P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=
4
5
pq=
24
125
得p=
2
5
，q=
3
5
．
（Ⅱ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=
6
125
，
P(ξ=1)=
4
5
×
3
5
×
2
5
+
1
5
×
2
5
×
2
5
+
1
5
×
3
5
×
3
5
=
37
125
，P(ξ=2)=
4
5
×
2
5
×
2
5
+
4
5
×
3
5
×
3
5
+
1
5
×
2
5
×
3
5
=
58
125
，
P（ξ=3）=1-
6
125
-
37
125
-
58
125
=
24
125
．
ξ 0 1 2 3
pi
6
125
37
125
58
125
24
125
∴E(ξ)=0×
6
125
+1×
37
125
+2×
58
125
+3×
24
125
=
9
5
．
∴该生取得优秀成绩的课程门数的期望为
9
5
．
点评：本题考查离散随机变量的概率分布列和数学期望，是历年高考的必考题型之一．解题时要认真审题，注意排列组合知识和概率知识的灵活运用．
练习册系列答案
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(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p，q的值；

(Ⅱ)求数学期望Eξ．

某同学参加某高校自主招生3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为
4
5
，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＜q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
ξ 0 1 2 3
pi
6
125
 x y
24
125
（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p，q的值；
（Ⅱ） 求数学期望Eξ．
某同学参加某高校自主招生3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＜q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
ξ123
pixy
（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p，q的值；
（Ⅱ） 求数学期望Eξ．
某同学参加某高校自主招生3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＜q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
ξ123
pixy
（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p，q的值；
（Ⅱ） 求数学期望Eξ．

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