Question

如图J12­4所示，在底面是矩形的四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4，E是PD的中点．

(1)求证：平面PDC⊥平面PAD；

(2)求二面角E­AC­D的余弦值；

(3)求直线CD与平面AEC所成角的正弦值．

图J12­4

Answer 1

解：方法一：

(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，

∴PA⊥CD.

又∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥CD.

又PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD.

又∵CD⊂平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD.

(2)取AD的中点O，连接EO，则EO∥PA.

∵PA⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.

过点O作OF⊥AC交AC于点F，连接EF，

则∠EFO就是二面角E­AC­D的平面角．

由PA＝2，得EO＝1.

在Rt△ADC中，由AD·CD＝AC·h，得h＝.

又∵O是AD的中点，OF⊥AC，∴OF＝.

而EO＝1，由勾股定理可得EF＝，

故cos∠EFO＝＝＝，即二面角E ­AC ­D的余弦值为.

(3)延长AE，过点D作DG垂直AE于点G，连接CG.

由(1)可知，CD⊥AE，又CD∩DG＝D，∴AE⊥平面CDG.

过点D作DH垂直CG于点H，则AE⊥DH.

又CG∩AE＝G，∴DH⊥平面AGC，即DH⊥平面AEC，

∴CD在平面ACE内的射影是CH，

∴∠DCH是直线CD与平面AEC所成的角．

∵DG＝AD·sin∠DAG＝AD·sin∠OAE＝AD·＝，

又在Rt△CDG中，CD＝2，∴CG＝

方法二：如图，以为A原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系A­xyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，D(0，4，0)，E(0，2，1)，P(0，0，2)，

又∵AP∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.

又∵CD⊂平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD.

∴二面角E­AC­D的余弦值是.

(3)设直线CD与平面AEC所成的角为θ.

∵平面AEC的一个法向量为n＝1，－，1，

即直线CD与平面AEC所成角的正弦值为.