Question

(1)设圆锥的母线长为1,试问圆锥的底面半径为多少时,圆锥的体积最大?

(2)圆锥内有一半球,球面与圆锥侧面相切,半球的底面在圆锥的底面上,已知半球半径为R,圆锥的母线与底面所成的角为θ,求当圆锥的体积V_圆锥=f(θ)最小时,圆锥的高h的值.

图1-1-4

Answer 1

解析：(1)设母线与底面所成的角为θ,则底面半径为cosθ,高h=sinθ.

∴圆锥的体积V=πcos²θsinθ

=cos²θsinθ.

记μ=cos²θsinθ,则μ²=cos⁴θsin²θ

=［cos²θ·cos²θ·(2sin²θ)］

≤()³

=,

∴μ≤.(当且仅当cos²θ=2sin²θ时,取“=”)

∴V≤π,即V的最大值为π,当V最大时,cos²θ=2sin²θ.

∴cosθ=,取圆锥的底面半径为.

(2)如图1-1-5是圆锥及其内切半球的轴截面,则圆锥的底面半径为R=,圆锥的高h=.

图1-1-5

∴f(θ)=πR²h=πr³·.

由(1)的结论,可知当cosθ=时,sin²θcosθ取得最大值,从而f(θ)取得最小值,

即当h==r时,f(θ)取得最小值.