Question

(1)设圆锥的母线长为1,试问圆锥的底面半径   为多少时,圆锥的体积最大?

(2)圆锥内有一半球,球面与圆锥侧面相切,半球的底面在圆锥的底面上,已知半球半径为r,圆锥的母线与底面所成的角为θ,求当圆锥的体积V_圆锥=f(θ)最小时,圆锥的高h的值.

Answer 1

解析:(1)设母线与底面所成的角为θ,则底面半径为cosθ,高h=sinθ.

∴圆锥的体积V=πcos²θsinθ=cos²θsinθ,

记μ=cos²θsinθ,

则μ²=cos⁴θsin²θ

=［cos²θ·cos²θ·(2sin²θ)］

≤()³=,

∴μ≤(当且仅当cos²θ=2sin²θ时,取“=”).

∴V≤π,即V的最大值为π,

当V最大时,cos²θ=2sin²θ,

∴cosθ=,即圆锥的底面半径为.

另解:设底面半径为r,高为h,则r²+h²=1,圆锥的体积为V=πr²h,

∴V²=r⁴h²=(r²·r²·2h²)≤.

()³=,即V≤(当且仅当r²=2h²,即r=时,取“=”).

(2)下图是圆锥及其内切半球的轴截面,则圆锥的底面半径为R=,圆锥的高h=.

∴f(θ)=πR²h=πr³·.

由(1)的结论可知:当cosθ=时,sin²θcosθ取得最大值,从而f(θ)取得最小值,

即当h=r时,f(θ)取得最小值.