Question

14．若关于x的不等式x²+$\frac{1}{2}$x≥（$\frac{1}{2}$）ⁿ，当x∈（-∞，λ]时对任意n∈N^*恒成立，则实数λ的取值范围是（-∞，-1]．

Answer 1

分析 关于x的不等式x²+$\frac{1}{2}$x≥（$\frac{1}{2}$）ⁿ，当x∈（-∞，λ]时对任意n∈N^*恒成立，等价于x²+$\frac{1}{2}$x≥（$\frac{1}{2}$）ⁿ_max对任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]恒成立，由此求出λ的取值范围

解答 解：关于x的不等式x²+$\frac{1}{2}$x≥（$\frac{1}{2}$）ⁿ，当x∈（-∞，λ]时对任意n∈N^*恒成立，
等价于x²+$\frac{1}{2}$x≥（$\frac{1}{2}$）ⁿ_max对任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]恒成立，
即x²+$\frac{1}{2}$x≥$\frac{1}{2}$对 x∈（-∞，λ]恒成立；
设y=x²+$\frac{1}{2}$x，它的图象是开口向上，对称轴为x=-$\frac{1}{4}$的抛物线，
所以当x≤-$\frac{1}{4}$时，左边是单调减函数，所以要使不等式恒成立，则λ²+$\frac{1}{2}$λ≥$\frac{1}{2}$，
解得λ≤-1，或λ≥$\frac{1}{2}$（舍）；
当x＞-$\frac{1}{4}$时，左边的最小值就是在x=-$\frac{1}{4}$时取到，
达到最小值时，x²+$\frac{1}{2}$x=-$\frac{1}{16}$，不满足不等式．
因此λ的范围就是 λ≤-1．
故答案为：（-∞，-1]．

点评 本题考查了函数恒成立的应用问题，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，是综合性题目．