Question

【题目】已知椭圆的离心率为，短轴长为2；

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设椭圆上顶点，左、右顶点分别为、.直线且交椭圆于、两点，点E 关于轴的对称点为点，求证： ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）由已知可得关于a，b，c的方程组，求解可得a，b，c的值，则椭圆方程可求；

（2）求出AB的斜率，得到直线l的斜率，设直线l的方程为yx+m，E（x1，y1），F（x2，y2），则G（﹣x1，y1），联立直线方程与椭圆方程，然后利用根与系数的关系结合斜率公式证明CF∥AG．

（1）由题意可得，解得a2＝4，b2＝1，c2＝3，

∴椭圆的标准方程为y2＝1，

（2）由（1）可得A（0，1），B（﹣2，0），C（2，0），

∵直线l∥AB，∴kl＝kAB，

不妨设直线l的方程为yx+m，

设，，则，

， ，

由，得：，得：，

因为（）

=

所以， ，

即 ，

所以， ．