Question

【题目】已知椭圆的离心率为，椭圆截直线所得的线段的长度为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的点，是坐标原点，若，判定四边形的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）根据椭圆截直线所得的线段的长度为，可得椭圆过点 ，结合离心率即可求得椭圆方程；

（Ⅱ）分类讨论：当直线的斜率不存在时，四边形的面积为 ； 当直线的斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，由 得 ，代入曲线C，整理出k，m的等量关系式，再根据 写出面积的表达式整理即可得到定值。

(Ⅰ)由解得

得椭圆的方程为.

（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线的方程为或，

此时四边形的面积为．

当直线的斜率存在时，设直线方程是，联立椭圆方程

，

点到直线的距离是

由得

因为点在曲线上，所以有

整理得

由题意四边形为平行四边形，所以四边形的面积为

由得, 故四边形的面积是定值，其定值为．