Question

【题目】已知函数f（x）=（x﹣ ）ex ， g（x）=4x2﹣4x+mln（2x）（m∈R），g（x）存在两个极值点x1 ， x2（x1＜x2）．
（1）求f（x1﹣x2）的最小值；
（2）若不等式g（x1）≥ax2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，

令g'（x）=0得8x2﹣4x+m=0①，

因为g（x）存在两个极值点x1，x2（x1＜x2），

所以方程①在（0，+∞）上有两个不等实根x1，x2，

所以 解得 ，

且 ，

所以 ，

当 时，f'（x）＜0，当 时，f'（x）＞0，

所以f（x1﹣x2）的最小值为

（2）解：）由（Ⅰ）可知， ，

由g（x1）≥ax2得 ，

所以

=

=

=

=

令（x）= （ ），

则'（x）=

因为 ，

所以 ，φ'（x）＜0，即φ（x）在 递减，

综上，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3﹣2ln2]

【解析】（1）求出函数的导数，求出极值点，g（x）存在两个极值点x1 ， x2（x1＜x2），推出 ，求出m的范围，化简x1﹣x2 ， 通过 时，f'（x）＜0，当 时，f'（x）＞0，求解f（x1﹣x2）的最小值．（2）通过g（x1）≥ax2得 ，化简 = ，构造（x）= （ ），求出导函数，利用函数的单调性求解最值即可．
【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．