Question

【题目】在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AA1=3，点D为BC的中点；
（Ⅰ）求证：A1B∥平面AC1D；
（Ⅱ）若点E为A1C上的点，且满足 =m （m∈R），若二面角E﹣AD﹣C的余弦值为 ，求实数m的值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）连结A1C∩AC1于F，则F为AC1的中点，
连结DF，则A1B∥DF，
∵DF平面AC1D，∴A1B∥平面AC1D．

解：（Ⅱ）过E作EM⊥AC于M，则EM⊥平面ABC，过M作MN⊥AD，垂足为N，连结EN，
则EN⊥AD，∴∠ENM为二面角E﹣AD﹣C的一个平面角，
设EM=h，则 = ，∴CM= ，∴AM=2﹣ ，
∵ ，∴MN= ，
∴EN2=EM2+MN2=h2+（1﹣ ）2 ，
∵cos ，故 = ，解得h= ，
此时，点E为A1C的中点，∴m=1．

【解析】（Ⅰ）连结A1C∩AC1于F，则F为AC1的中点，连结DF，则A1B∥DF，由此能证明A1B∥平面AC1D．（Ⅱ）过E作EM⊥AC于M，则EM⊥平面ABC，过M作MN⊥AD，垂足为N，连结EN，则∠ENM为二面角E﹣AD﹣C的一个平面角，由此利用二面角E﹣AD﹣C的余弦值为 ，能求出m的值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与平面平行的判定(平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行)．