Question

（本小题满分14分）已知， 若函数在上的最大值为，最小值为， 令.

（1）求的表达式;

（2）若关于的方程有解，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）；（2）实数的取值范围为.

【解析】

试题分析：（1）这是区间定轴变的二次函数的最值题型，所给二次函数的对称轴为，根据，可知对称轴，因为即涉及二次函数的最大值与最小值，故分，两种情况进行讨论，结合二次函数的图像确定最值，进而可求出的表达式；（2）根据（1）中确定的的表达式，先用证明函数单调性的方法证明函数在上单调递减，在上单调递增，进而确定函数的值域，而关于的方程有解等价于有解，即在的值域就是的取值范围，问题得以解决.

试题解析：(1) 1分

∵，∴

①当，即时，则时，函数取得最大值;时，函数取得最小值.

∴，

∴ 3分

②当，即时，则时，函数取得最大值;时，函数取得最小值.

∴，

∴. 5分

综上，得 6分

（2）任取，且

7分

∵，且

∴

∴，即

∴

∴函数在上单调递减 8分

任取，且

9分

∵，且

∴

∴，即

∴

∴函数在上单调递增 10分

当时，取得最小值，其值为 11分

又，

∴函数的值域为 12分

∵关于的方程有解等价于有解

∴实数的取值范围为函数的值域 13分

∴实数的取值范围为 14分.

考点：1.二次函数的图像与性质；2.函数与方程；3.分类讨论的思想.