Question

已知sinx+cosx=

1

3

，x∈(0，π)，则cos2x=

-

17

9

．

Answer 1

分析：把已知的等式左右两边平方，利用完全平方公式整理后，根据同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，求出sin2x的值，再由x的范围得到2x的范围，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cos2x的值．

解答：解：由sinx+cosx=

1

3

两边平方得：（sinx+cosx）²=

1

9

，
整理得：sin²x+2sinxcosx+cos²x=

1

9

，即1+sin2x=

1

9

，
解得：sin2x=-

8

9

＜0，
又x∈（0，π），∴2x∈（π，2π），
∴cos2x=-

1-sin22x

=-

17

9

．
故答案为：-

17

9

点评：此题考查了二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及完全平方公式的运用，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．