Question

【题目】如图，边长为4的正方形所在平面与正三角形所在平面互相垂直，，分别为，的中点．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】

（I）根据题意，利用线面垂直、面面垂直的判定定理与面面垂直的性质定理证明；

（Ⅱ）根据题意，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，用向量法求解．

（Ⅰ）证明：设直线，交于点，

∵，，

∴．

∴，则．

故，∴．

∵为的中点，为正三角形，

∴．

又平面平面，平面平面，

∴平面，

∴，

∵，

∴平面，

又平面，

∴平面平面．

（Ⅱ）设的中点为，连接．∵平面平面，∴，，由（Ⅰ）知，．

以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系如图所示，

则，，，，．

设平面的法向量为，又，，

∴，得取，得．

设直线与平面所成角为，，

∴，

故直线与平面所成角的正弦值为．