题目内容
【题目】已知直线
与椭圆
交于不同的两点
，线段
的中点为
，且直线
与直线
的斜率之积为
.若直线
与直线交于点
，与直线交于点
，且点为直线
上一点.
（1）求的轨迹方程；
（2）若
为椭圆
的上顶点，直线与
轴交点
，记
表示面积，求
的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）设
，
，
，结合题意求得
，然后消去参数
即可得解；
（2）结合题意，求出
，
，
，
，
的坐标，然后结合三角形面积公式求解即可.
解：（1）设，，，
联立方程
，
得
，
由
，且
，
因此
，
将其代入
得
，
因为
，
所以
，
∴
，
所以直线
方程为
，
可得
，
∴
，
代入，得，
消去，可得点的轨迹方程为
.
（2）根据题意，
，
所以椭圆
的方程为
.
由（1）知，
，
，
对于直线
，令
，
，
所以
，
所以，
，
，
，
所以
，
，
所以
，
令
，
则
，
当
，
即
时，
取得最大值，
此时
，满足
.
故取得最大值.
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，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求
的值，并估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”.请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？
优秀 | 非优秀 | 合计 | |
男生 | 40 | ||
女生 | 50 | ||
合计 | 100 |
参考公式及数据：
.
| 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
