Question

【题目】已知函数（）.

（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若有两个极值点，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）若，求在区间上的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

由题意得；

（Ⅰ）当时，求得，，根据点斜式方程即可求出切线方程；

（Ⅱ）由题意得两个不等的正根，令，则，由此可得函数的单调性，由此可求出答案；

（Ⅲ）由题意可得，由二阶导的取值符号可得到的单调性，得到，由此可求出函数在上单调递减，从而求出最值．

解：∵，

∴；

（Ⅰ）当时，，，

∴曲线在点处的切线方程为，

即；

（Ⅱ）∵若有两个极值点，

∴有两个不等的正根，即两个不等的正根，

令，，，

令，

当时，此时单调递增，；

当时，此时单调递减，

∴函数在处取得极大值，也是最大值，

因为两个不等的正根，

∴，得，

∴实数a的取值范围是；

（Ⅲ）∵，

∴，，

∵，，令，

当时，，此时单调递增，

当时，，此时单调递减，

故，

∴在上单调递减，

故在上的最小值为．