Question

3．如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点D，AC⊥CD，DE⊥AB，C、E为垂足，连接AD，BD．若AC=4，DE=3，求BD的长．

Answer 1

分析 先证明△EDA∽△DBA，再证明△ACD≌△AED，即可得出结论．

解答 解：因为CD与⊙O相切于点D，所以∠CDA=∠DBA，…（2分）
又因为AB为⊙O的直径，所以∠ADB=90°．
又DE⊥AB，所以△EDA∽△DBA，
所以∠EDA=∠DBA，所以∠EDA=∠CDA．…（4分）
又∠ACD=∠AED=90°，AD=AD，所以△ACD≌△AED．
所以AE=AC=4，所以AD=5，…（6分）
又$\frac{DE}{BD}$=$\frac{AE}{AD}$，所以BD=$\frac{15}{4}$．…（10分）

点评 本题考查三角形相似的判定与性质，考查三角形全等的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．