Question

定义域为R的奇函数f（x）满足f（x）=f（x-2k）（k∈Z），且当x∈（0，1）时，f(x)=

2x

4x+1

．
（Ⅰ）求f（x）在[-1，1]上的解析式；
（Ⅱ）当m取何值时，方程f（x）=m在（0，1）上有解？

Answer 1

分析：（I）由定义域为R的奇函数f（x），又由当x∈（0，1）时，f(x)=

2x

4x+1

．利用奇函数f（-x）=-f（x），f（0）=0，我们可以求出f（x）在（-1，0）上的解析式，然后根据f（x）满足f（x）=f（x-2k）求出f（-1），f（1）的值，即得到f（x）在[-1，1]上的解析式；
（Ⅱ）根据当x∈（0，1）时，f(x)=

2x

4x+1

，求出函数在区间（0，1）上的值域，即可得到方程f（x）=m有解时，m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），
由f（x）为R上的奇函数，得f(-x)=-f(x)=

2-x

4-x+1

=

2x

4x+1

，
此时f（x）=-

2x

4x+1

（4分）
又f（0）=-f（0），f（0）=0，
∵f（-1）=-f（1），f（-1）=f（1-2）=f（1），
∴f（-1）=0，f（1）=0，（7分）
∴f(x)=

- 2x 4x+1 ，x∈(-1，0) 0，x=0，±1 2x 4x+1 ，x∈(0，1)

（8分）
（Ⅱ）∵x∈（0，1）
∴m=

2x

4x+1

=

1

2x+ 1 2x

，（11分）
2^x∈（1，2），
∴2x+

1

2x

∈(2，

5

2

)，
即m∈(

2

5

，

1

2

)．    （14分）

点评：本题考查的知识点是函数与方程的综合运用，函数解析式的求法，函数的值域，其中（1）中易忽略对f（0），f（-1）及f（1）值的确定，而错解为f(x)=

- 2x 4x+1 ，x∈(-1，0) 2x 4x+1 ，x∈(0，1)

．