Question

（本小题满分14分）已知抛物线的焦点以及椭圆的上、下焦点及左、右顶点均在圆上．

（1）求抛物线和椭圆的标准方程；

（2）过点的直线交抛物线于两不同点，交轴于点，已知，，求的值；

（3）直线交椭圆于两不同点，在轴的射影分别为，，若点满足，证明：点在椭圆上．

Answer 1

（1），；（2）-1；（3）证明详见解析.

【解析】

试题分析：本题主要考查抛物线的标准方程、椭圆的标准方程、直线与抛物线的相交问题、直线与椭圆的相交问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、推理论证能力、转化能力、计算能力. 第一问，利用抛物线的焦点在圆上，列出表达式，解出P的值，从而得到抛物线的标准方程，同理，利用椭圆的上下焦点及左右顶点均在圆上，可得到a、b、c的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，设出直线AB的方程，与抛物线联立，消参，利用韦达定理，得到、代入到中，计算化简即可；第三问，设出P、Q坐标，由，得到，

试题解析：（1）由抛物线的焦点在圆上得：从而得到①②③三个表达式，相加得，从而验证得S满足椭圆方程.

，， ..1分

∴抛物线 .. .2分

同理由椭圆上、下焦点及左、右顶点均在圆上可解得：． 4分

得椭圆． 5分

（2）设直线的方程为，则．

联立方程组，消去得： .6分

且 ..7分

由得：

整理得： .. 8分

． ..9分

（3）设，则

由得 ① .10分

② .11分

③ 12分

由①+②+③得 . ...13分

∴满足椭圆的方程，命题得证． ....14分

考点：抛物线的标准方程、椭圆的标准方程、直线与抛物线的相交问题、直线与椭圆的相交问题.