Question

3．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别是a，b，c，边c=$\frac{7}{2}$，且tanA+tanB=$\sqrt{3}$tanA•tanB-$\sqrt{3}$，又△ABC的面积为S_△ABC=$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，求a+b的值．

Answer 1

分析 由已知利用两角和的正切函数公式，三角形的内角和定理，诱导公式化简可得$tanC=\sqrt{3}$，结合C∈（0，π），可得C的值，利用三角形的面积公式可求ab=6，又由余弦定理可得${（a+b）^2}=\frac{121}{4}$，进而可解得a+b的值．

解答 解：∵由$tanA+tanB=\sqrt{3}tanA•tanB-\sqrt{3}$，
∴可得$\frac{tanA+tanB}{1-tanA•tanB}=-\sqrt{3}$，即$tan（A+B）=-\sqrt{3}$．
∴$tan（π-C）=-\sqrt{3}$，
∴$-tanC=-\sqrt{3}$，
∴$tanC=\sqrt{3}$．
∵C∈（0，π），
∴$C=\frac{π}{3}$．
又∵△ABC的面积为${S_{△ABC}}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}absinC=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，即$\frac{1}{2}ab×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，
∴ab=6．
又∵由余弦定理可得c²=a²+b²-2abcosC，
∴${（\frac{7}{2}）^2}={a^2}+{b^2}-2abcos\frac{π}{3}$，
∴${（\frac{7}{2}）^2}={a^2}+{b^2}-ab={（a+b）^2}-3ab$，
∴${（a+b）^2}=\frac{121}{4}$，
∵a+b＞0，
∴$a+b=\frac{11}{2}$．

点评 本题主要考查了两角和的正切函数公式，三角形的内角和定理，诱导公式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．