Question

11．在△ABC中，tan$\frac{A}{2}$+tan$\frac{B}{2}$=1，则tan$\frac{C}{2}$的取值范围为[$\frac{3}{4}$，1）．

Answer 1

分析 利用条件诱导公式、两角和差的正切公式求得1-tan$\frac{A}{2}$•tan$\frac{B}{2}$=tan$\frac{C}{2}$，再根据tan$\frac{A}{2}$、tan$\frac{B}{2}$均为正数以及基本不等式，求得tan$\frac{C}{2}$的范围．

解答 解：△ABC中，∵tan$\frac{A}{2}$+tan$\frac{B}{2}$=tan（$\frac{A}{2}$+$\frac{B}{2}$）•（1-tan$\frac{A}{2}$•tan$\frac{B}{2}$）
=tan$\frac{π-C}{2}$•（1-tan$\frac{A}{2}$•tan$\frac{B}{2}$）=cot$\frac{C}{2}$•（1-tan$\frac{A}{2}$•tan$\frac{B}{2}$）=1，
∴1-tan$\frac{A}{2}$•tan$\frac{B}{2}$=tan$\frac{C}{2}$．
∵∵tan$\frac{A}{2}$+tan$\frac{B}{2}$=1，∴tan$\frac{A}{2}$、tan$\frac{B}{2}$均为正数，
∴tan$\frac{A}{2}$•tan$\frac{B}{2}$＞0，∴tan$\frac{C}{2}$=1-tan$\frac{A}{2}$•tan$\frac{B}{2}$＜1，即 tan$\frac{C}{2}$＜1．
∵tan$\frac{A}{2}$+tan$\frac{B}{2}$=1，∴1=tan$\frac{A}{2}$+1tan$\frac{B}{2}$≥2$\sqrt{tan\frac{A}{2}•tan\frac{B}{2}}$，
当且仅当tan$\frac{A}{2}$=tan$\frac{B}{2}$=$\frac{1}{2}$时，等号成立，
∴tan$\frac{A}{2}$•tan$\frac{B}{2}$$≤\frac{1}{4}$，∴tan$\frac{C}{2}$=1-tan$\frac{A}{2}$•tan$\frac{B}{2}$≥$\frac{3}{4}$．
综上可得，tan$\frac{C}{2}$∈[$\frac{3}{4}$，1），
故答案为：[$\frac{3}{4}$，1）．

点评 本题主要考查诱导公式、两角和差的正切公式，基本不等式的应用，属于中档题．