Question

12．已知函数f（x）=e^x．
（Ⅰ）当x＞-1时，证明：f（x）＞$\frac{（x+1）^{2}}{2}$；
（Ⅱ）当x＞0时，f（1-x）+2lnx≤a（x-1）+1恒成立，求正实数a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，证出结论即可；
（Ⅱ）问题等价于e^1-x+2lnx-a（x-1）-1≤0在（0，+∞）恒成立，令p（x）=e^1-x+2lnx-a（x-1）-1，（x＞0），根据函数的单调性求出a的值即可．

解答 解：（Ⅰ）证明：令g（x）=e^x-$\frac{（x+1）^{2}}{2}$，（x＞-1），
则g′（x）=e^x-x-1（x＞-1），
令h（x）=e^x-x-1（x＞-1），则h′（x）=e^x-1，（x＞-1），
令h′（x）＞0，解得：x＞0，令h′（x）＜0，解得：x＜0，
∴h（x）在（-1，0）递减，在（0，+∞）递增，
∴h（x）＞h（0）=0，
∴g（x）在（-1，+∞）递增，
∴g（x）＞g（-1）=$\frac{1}{e}$＞0，
即原命题成立；
（Ⅱ）当x＞0时，f（1-x）+2lnx≤a（x-1）+1恒成立，
等价于e^1-x+2lnx-a（x-1）-1≤0在（0，+∞）恒成立，
令p（x）=e^1-x+2lnx-a（x-1）-1，（x＞0），
则p′（x）=$\frac{2}{x}$-e^1-x-a，（x＞0），
令q（x）=$\frac{2}{x}$-e^1-x-a，（x＞0），
则q′（x）=-$\frac{2{（e}^{x-1}-\frac{{x}^{2}}{2}）}{{{e}^{x-1}-x}^{2}}$，（x＞0），
由（Ⅰ）得q′（x）＜0，q（x）在（0，+∞）递减，
①a=1时，q（1）=p′（1）=0且p（1）=0，
在（0，1）上p′（x）＞0，p（x）递增，在（1，+∞）上，p′（x）＜0，p（x）递减，
故p（x）的最大值是p（1），即p（x）≤0恒成立；
②a＞1时，p′（1）＜0，
x∈（0，1）时，由p′（x）=$\frac{2}{x}$-e^1-x-a＜$\frac{2}{x}$-1-a＜0，解得：$\frac{2}{a+1}$＜x＜1，
即x∈（$\frac{2}{a+1}$，1）时，p′（x）＜0，p（x）递减，
又p（1）=0，故p（x）＞0与p（x）＜0矛盾；
③0＜a＜1时，由p′（x）=$\frac{2}{x}$-e^1-x-a＞$\frac{2}{x}$-1-a＞0，解得：1＜x＜$\frac{2}{a+1}$，
即x∈（1，$\frac{2}{a+1}$）时，p′（x）＞0，p（x）递增，
又p（1）=0，故此时p（x）＞0与p（x）≤0恒成立矛盾，
综上：a=1．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想、转化思想，是一道综合题．