Question

【题目】已知函数．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若函数有两个极值点，且恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

(1)由题意知，求得函数的导数，令，则，

分类讨论即可求解函数的单调区间；

(2)由(1)得，，化简，令，则，令，利用导数求得函数的单调性与最值，进而可求解实数的范围。

(1)由题意知，函数的定义域是，

，令，则，

①当时，，恒成立，函数在上单调递增；

②当时，，方程有两个不同的实根，分别设为，不妨令，

则，，此时，

因为当时，，当时，

，当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．

综上，当时，在上单调递增；当时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．

(2)由(1)得在上单调递减，，，

则 ，

令，则，，

令，则，

故在上单调递减且，

故，即，

而，其中，

令，，所以在上恒成立，

故在上单调递减，从而，

故的取值范围是.