Question

求适合下列条件的直线方程：

       (1)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；

       (2)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－.

       (3)过点A(1，－1)与已知直线l₁：2x＋y－6＝0相交于B点，且 |AB|＝5.

Answer 1

解　(1)法一　设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，

∴l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.

若a≠0，则设l的方程为＋＝1，

∵l过点(3,2)，∴＋＝1，

∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，

综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.

法二　由题意，所求直线的斜率k存在且k≠0，

设直线方程为y－2＝k(x－3)，

令y＝0，得x＝3－，令x＝0，得y＝2－3k，

由已知3－＝2－3k，

解得k＝－1或k＝，

∴直线l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝(x－3)，

即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.

(2)设所求直线的斜率为k，依题意

k＝－×3＝－.

又直线经过点A(－1，－3)，

因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，

即3x＋4y＋15＝0.

(3)过点A(1，－1)与y轴平行的直线为x＝1.

解方程组

求得B点坐标为(1,4)，此时|AB|＝5，

即x＝1为所求．

设过A(1，－1)且与y轴不平行的直线为y＋1＝k(x－1)，

解方程组

得两直线交点为

(k≠－2，否则与已知直线平行)

则B点坐标为.

由已知＝5²，

解得k＝－，∴y＋1＝－(x－1)，即3x＋4y＋1＝0.

综上可知，所求直线的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.