Question

如图，三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝AC＝2，AB＝BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB．

(Ⅰ)求证：AB⊥平面PCB；

(Ⅱ)求异面直线AP与BC所成角的大小；

(Ⅲ)求二面角C－PA－B的大小的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)∵PC平面ABC，平面ABC，∴PCAB． 　　∵CD平面PAB，平面PAB，∴CDAB． 　　又，∴AB平面PCB．(4分) 　　(Ⅱ)过点A作AF∥BC，且AF＝BC，连结PF，CF． 　　则为异面直线PA与BC所成的角． 　　由(Ⅰ)可得AB⊥BC， 　　∴CFAF． 　　由三垂线定理，得PFAF． 　　则AF＝CF＝，PF＝， 　　在中，tan∠PAF＝＝，∴异面直线PA与BC所成的角为．(4分) 　　(Ⅲ)取AP的中点E，连结CE、DE． 　　∵PC＝AC＝2，∴CEPA，CE＝． 　　∵CD平面PAB，由三垂线定理的逆定理，得DEPA． 　　∴为二面角C－PA－B的平面角． 　　由(Ⅰ)AB平面PCB，又∵AB＝BC，可求得BC＝． 　　在中，PB＝，． 　　在中，cos＝． 　　∴二面角C－PA－B大小的余弦值为(4分)