Question

数列{a_n}的前n项和S_n，已知对任意的n∈N^*，点（n，S_n）均在函数y=ax²+x（a∈N^*）的图象上，则（　　）

A、a与a_n的奇偶性相同

B、n与a_n的奇偶性相同

C、a与a_n的奇偶性相异

D、n与a_n的奇偶性相异

Answer 1

分析：本题主要考查数列通项a_n与前n项和S_n之间的关系及函数解析式．首先将点代入函数解析式确定a_n与S_n的关系，然后利用通过此式求得通项公式，最后分析n与a_n的奇偶性．本题易忽视判断a与a₁奇偶性，即忽视a₁与S₁的关系．

解答：解：∵对任意的n∈N^*，点（n，S_n），均在函数y=ax²+x（a∈N^*）的图象上
∴S_n=an²+n，
当n=1时，a₁=S₁=a+1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=an²+n-[a（n-1）²+（n-1）]=2an-a+1，
当n=1时，2an-a+1=a₁．
∴a_n=2an-a+1=（2n-1）a+1，
∴a与a_n的奇偶性相异．
故选C．

点评：本题考查数列与函数的综合，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．