Question

函数f(x)=

sinxcosx

1+sinx+cosx

的值域是（　　）

• A．[-

  2

  -1，1]∪[-1，

  2

  -1]
• B．[-

  2 +1

  2

  ，

  2 -1

  2

  ]
• C．[-

  2

  2

  -1，

  2

  2

  -1]
• D．[-

  2 +1

  2

  ，-1)∪(-1，

  2 -1

  2

  ]

Answer 1

分析：令t=sinx+cosx=

2

sin(x+45°)，则t∈[-

2

，

2

]且t≠-1，则inxcosx=

t2-1

2

，y=

1 2 (t2-1)

1+t

=

t2-1

2(1+t)

=

t-1

2

，结合t的范围可求函数的值域

解答：解：由题意可得，sinx+cosx+1≠0
令t=sinx+cosx=

2

sin(x+45°)，则t∈[-

2

，

2

]且t≠-1
两边同时平方可得，t²=1+2sinxcosx
∴sinxcosx=

t2-1

2

∴y=

1 2 (t2-1)

1+t

=

t2-1

2(1+t)

=

t-1

2

∵-

2

≤t≤

2

且t≠-1
∴

- 2 -1

2

≤y≤ 

2 -1

2

且y≠-1
故函数的值域为[-

2 +1

2

，-1)∪(-1，

2 -1

2

]
故选D

点评：本题主要考查了利用换元法求解函数的值域，正弦函数的性质的应用，解题中不要漏掉y≠-1的考虑