Question

已知数列{a_n}满足a1=a，an+1=

1

2-an

．
（Ⅰ）依次计算a₂，a₃，a₄，a₅；
（Ⅱ）猜想a_n的表达式，并用数学归纳法进行证明．

Answer 1

分析：（I）由已知条件，在 a1=a，an+1=

1

2-an

中分别令n=1，2，3，4，求出a₂，a₃，a₄，a₅．即可．
（II）由（1）猜想数列{a_n}的通项公式：an=

(n-1)-(n-2)a

n-(n-1)a

，，检验n=1时等式成立，假设n=k（k≥1）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

解答：解：（I）分别令n=1，2，3，4，得：
a2=

1

2-a

，a3=

1

2-a 2

=

1

2-  1 2-a

=

2-a

3-2a

，
a4=

1

2-a 3

=

1

2- 2-a 3-2a

=

3-2a

4-3a

a5=

1

2-a 4

=

1

2- 3-2a 4-3a

=

4-3a

5-4a

．
（II）由此，猜想 an=

(n-1)-(n-2)a

n-(n-1)a

下面用数学归纳法证明此结论正确．
证明：（1）当n=1时，显然结论成立  
（2）假设当n=k（k≥1）时，结论成立，即 ak=

(k-1)-(k-2)a

k-(k-1)a

那么ak+1=

1

2-a k

=

1

2- k-1-(k-2)a k-(k-1)a

=

k-(k-1)a

k+1-ka

，
也就是说，当n=k+1时结论成立．
根据（1）和（2）可知，结论对任意正整数n都成立，即 an=

(n-1)-(n-2)a

n-(n-1)a

点评：本题是中档题，考查数列递推关系式的应用，数学归纳法证明数列问题的方法，考查逻辑推理能力，计算能力．注意在证明n=k+1时务必用上假设．