Question

已知椭圆的中心在原点，一个焦点F₁（0，-2），且离心率e满足：，e，成等比数列．
（1）求椭圆方程；
（2）直线y=x+1与椭圆交于点A，B．求△AOB的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）依题意e=，F₁（0，-2），c=2，a=3，b=1，由此能求出椭圆方程．
（2）由，得5x²+x-4=0，故|AB|=，又O到直线y=x+1的距离为，由此能求出△AOB的面积．
解答：（本题满分12分）
解：（1）∵，e，成等比数列，
∴，∴e=…（1分）．
∵椭圆的中心在原点，一个焦点F₁（0，-2），
∴F₁（0，-2），c=2…（2分），
∴a===3，b==1，…（4分）
∴所求方程为x²+y²=1．…（5分）
（2）由消去y，得5x²+x-4=0，…7分
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，，
∴|AB|==…（9分）
又O（0，0）到直线y=x+1的距离d==…（11分）
∴△AOB的面积S==．…（12分）
点评：本题考查椭圆方程和求法和三角形面积的求法，具体涉及到椭圆的基础知识，直线与椭圆的位置关系，弦长公式、点到直线的距离公式等基本知识点，解题时要认真审题，仔细解答．