Question

(本题满分13分) 已知函数,函数

（I）当时,求函数的表达式;

（II）若,且函数在上的最小值是2 ,求的值;

（III）对于（II）中所求的a值，若函数，恰有三个零点，求b的取值范围。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）当时,函数. （II）1；

（III）。

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。利用导数求解最值和方程的解，以及解析式的求解的综合运用。

（1）∵,去掉绝对值然后分情况求解导数得到结论。

∴当时,; 当时,

∴当时,; 当时,.

∴当时,函数.

（2）由⑴知当时,,

∴当时, 当且仅当时取等号.由，得a=1 (8分)

分析导数的运用。

（3）构造函数

所以，方程，有两个不等实根，且不含零根。等价转化后得到。

解: （Ⅰ）∵,

∴当时,; 当时,

∴当时,; 当时,.

∴当时,函数.  （4分）

（Ⅱ）∵由⑴知当时,,

∴当时, 当且仅当时取等号.由，得a=1 (8分)

令，得或x=b

(1)            若b>1,则当0<x<1时，，当1<x<b,时，当x>b时，；

(2)            若b<1,且b则当0<x<b时，，当b<x<1时，，当x>1时，

所以函数h(x)有三个零点的充要条件为或解得或 

综合： （13分）

另解：

所以，方程，有两个不等实根，且不含零根

解得：  （13分）