Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上．

（）求椭圆的标准方程．

（）是否存在斜率为的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点，时，能在直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】(1) (2) 不存在

【解析】分析：（1）由椭圆的焦点坐标与点在椭圆上可求得椭圆的的标准方程。(2) 设，，，，的中点为，设直线MN的方程为，与椭圆组方程组结合韦达定理，由，知四边形为平行四边形，，得，由，可得，所以不存在Q点在椭圆上。

详解：（）设椭圆的焦距为，则，

∵在椭圆上，

∴，

∴，，

故椭圆的方程为．

（）假设这样的直线存在，设直线的方程为，

设，，，，的中点为，

由，消去，得，

∴，且，

故且，

由，知四边形为平行四边形，

而为线段的中点，因此为线段的中点，

∴，得，

又，可得，

∴点不在椭圆上，

故不存在满足题意的直线．