Question

【题目】已知向量，，设函数．

（1）若函数的图象关于直线对称，且时，求函数的单调增区间；

（2）在（1）的条件下，当时，函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）根据平面向量数量积运算求解出函数，利用函数的图象关于直线对称，且可得，结合三角函数的性质可得其单调区间；（2）当时，求出函数的单调性，函数有且只有一个零点，利用其单调性求解求实数的取值范围.

试题解析：

解：向量，，

（1）∵函数图象关于直线对称，

∴，解得：，∵，∴，

∴，由，

解得：，

所以函数的单调增区间为．

（2）由（1）知，∵，

∴，

∴，即时，函数单调递增；

，即时，函数单调递减．

又，

∴当或时函数有且只有一个零点．

即或，

所以满足条件的．