Question

【题目】如图，四棱锥中，底面ABCD为菱形，，Q是AD的中点.

（Ⅰ）若，求证：平面PQB平面PAD；

（Ⅱ）若平面APD平面ABCD，且，点M在线段PC上，试确定点M的位置，使二面角的大小为，并求出的值.

Answer 1

【答案】（1）证明过程详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要以四棱锥为几何背景，考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、向量法等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，为等腰三角形，Q为AD中点，所以，又由于底面ABCD为菱形，得到，利用线面垂直的判定得到平面PQB，最后利用面面垂直的判定得到结论；第二问，利用面面垂直的性质得到两两垂直关系，建立空间直角坐标系，写出面内所有点的坐标，得到向量坐标

试题解析：（1）∵，Q为AD的中点，∴，

又底面ABCD为菱形，，∴ ,

又∴平面PQB，又∵平面PAD,

平面PQB平面PAD;

（2）平面PAD平面ABCD,平面平面,∴平面ABCD.

以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图.

则,

设,

所以，平面CBQ的一个法向量是，

设平面MQB的一个法向量为，所以

取，

由二面角大小为，可得：

，解得，此时.