题目内容
12．设函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），f（xy）=f（x）+f（y），若f（8）=3，则$f（\sqrt{2}）$等于（ ）| A． | $-\frac{1}{2}$ | B． | 1 | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | $\frac{1}{4}$ |
分析 先根据f（8）=f（2×4）=f（2）+f（4）=f（2）+f（2）+f（2）=3f（2），求得f（2），再根据f（$\sqrt{2}$）=$\frac{1}{2}$f（2），求得f（$\sqrt{2}$）．
解答 解：因为f（x）满足，f（xy）=f（x）+f（y），
所以，f（8）=f（2×4）=f（2）+f（4）=f（2）+f（2）+f（2），
即f（8）=3f（2）=3，
所以，f（2）=1，
而f（2）=f（$\sqrt{2}$•$\sqrt{2}$）=f（$\sqrt{2}$）+f（$\sqrt{2}$）=2f（$\sqrt{2}$）
因此，f（$\sqrt{2}$）=$\frac{1}{2}$f（2）=$\frac{1}{2}$，
故答案为：C．
点评 本题主要考查了抽象函数及其应用，涉及抽象函数值的确定，关键是要灵活运用条件f（xy）=f（x）+f（y），属于中档题．
练习册系列答案
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7．在△ABC中，$c=\sqrt{3}$，b=1，B=30°，则△ABC的面积为（ ）
| A． | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}或\sqrt{3}$ | B． | $\frac{{\sqrt{3}}}{4}或\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ | C． | $\frac{{\sqrt{3}}}{4}或\sqrt{3}$ | D． | $\sqrt{3}$ |
17．已知a＞1，在同一个坐标系中作出两个函数的图象（如图），则这两个函数可以为（ ）
| A． | y=ax和y=loga（-x） | B． | y=ax和$y={log_a}{x^{-1}}$ | ||
| C． | y=a-x和$y={log_a}{x^{-1}}$ | D． | y=a-x和y=loga（-x） |