Question

4．圆心为M（m，0）（m∈Z），半径为5的圆与直线4x+3y-29=0相切．
（1）求圆M的方程；
（2）若直线l₁：ax-y+5=0与圆M相交于A、B两点，是否存在实数a，c，使直线l₂：4x+3y+c=0垂直平分弦AB？若存在，求直线l₁、l₂的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用，圆心到直线的距离d=$\frac{|4m-29|}{\sqrt{16+9}}$=5，求出m，即可求出圆M的方程；
（2）把直线y=ax+5代入圆M的方程d得到关于x的一元二次方程，利用交点个数与判别式的关系得到a的范围，利用直线l₂：4x+3y+c=0垂直平分弦AB，得出结论．

解答 解：（1）由题意，圆心到直线的距离d=$\frac{|4m-29|}{\sqrt{16+9}}$=5，
∵m∈Z，∴m=1，
∴圆M的方程为（x-1）²+y²=25；
（2）把直线y=ax+5．代入圆M的方程，
消去y，整理得（a²+1）x²+2（5a-1）x+1=0．
由于直线l₁：ax-y+5=0交圆C于A，B两点，
故△=4（5a-1）²-4（a²+1）＞0，
解得a＜0或a＞$\frac{5}{12}$
由k_AB=$\frac{3}{4}$=a$＞\frac{5}{12}$，符合条件
由于l₂垂直平分弦AB，故圆心C（1，0）必在l₂上，∴c=-4．
故存在实数a=$\frac{3}{4}$，c=-4，使得直线l₂：4x+3y+c=0垂直平分弦AB．

点评 本题考查了圆的方程的求法以及直线与圆的位置关系的判断，属于中档题．