Question

已知

lim

n→∞

（2x+1）ⁿ存在，那么x的取值范围是（　　）

• A、（-1，1）
• B、[0，1）
• C、（-1，0）
• D、（-1，0]

Answer 1

考点：极限及其运算

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：根据极限的概念，及指数函数图象特点，很容易知道应该这样对x限制：-1＜2x+1≤1，解出即可．

解答： 解：（1）若0＜2x+1＜1，即-

1

2

＜x＜0时，根据对数函数y=a^x，在0＜a＜1时，随着x的增大，函数图象无限接近0，所以对于

lim

n→∞

（2x+1）ⁿ=0；
（2）若2x+1=1，即x=0时，则

lim

n→∞

（2x+1）ⁿ=1；
（3）若2x+1=0，即x=-

1

2

时，则

lim

n→∞

（2x+1）ⁿ=0；
（4）若2x+1＞1，则根据对数函数y=a^x，在a＞1时，随x的增大，函数图象向上无限延伸，函数值无限增大，所以，此时不存在极限；
（5）若-1＜2x+1＜0，即-1＜x＜-

1

2

时，若n无限增大趋向一个偶数，则

lim

n→∞

（2x+1）ⁿ=0，n无限增大趋向一个奇数时，

lim

n→∞

（2x+1）ⁿ=0；
（6）若2x+1=-1，（2x+1）ⁿ是1和-1间隔出现的，所以不存在．
（7）若2x+1＜-1，n趋于无穷大的偶数时，（2x+1）ⁿ趋于正无穷大，n趋于无穷大的奇数时，（2x+1）ⁿ趋于负无穷大，所以不存在极限．
综上可得，x的取值范围是（-1，0]，
故答案是D．

点评：考察极限的概念，和指数函数图象特点．