Question

【题目】已知函数.

（1）若，恒成立，求的取值范围；

（2）若，是否存在实数，使得，都成立？请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析.

【解析】

（1）根据的奇偶性和单调性，将函数值的比较变为自变量的比较，得到恒成立，利用参变分离，得到的取值范围；（2）假设存在，整理和，设，，

得到，按照和进行分类讨论，从而证明不存在所需的.

（1），为上的奇函数，单调递减，

所以恒成立，

可得

所以恒成立

即恒成立，

当时，该不等式恒成立，

当时，，

设，则

，

当且仅当，即时，等号成立，

所以.

（2）

所以，

假设存在实数，使得和都成立，

设，，

则，

，

若，则，解得，或，，均不是有理数，

若，则，其中，而，所以不成立，

综上所述，故不存在实数，使得，都成立.