Question

19．如图，四棱锥P-ABCD中，底面积ABCD为矩形，PA⊥平向ABCD，E为PD的中点，AB=AP=1，AD=$\sqrt{3}$，试建立恰当的空间直角坐标系，试求直线PC的一个法向量和平面PCD的一个法向量．

Answer 1

分析 如图所示，建立空间直角坐标系A-BDP.$\overrightarrow{PC}$=（1，$\sqrt{3}$，-1），设直线PC的一个法向量为$\overrightarrow{u}$=（x，y，z），利用$\overrightarrow{PC}$$•\overrightarrow{u}$=x+$\sqrt{3}$y-z=0，即可得出．$\overrightarrow{PD}$=（0，$\sqrt{3}$，-1），设平面PCD的一个法向量$\overrightarrow{v}$=（x₁，y₁，z₁），可得$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{v}=0}\\{\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{v}=0}\end{array}\right.$，即可得出．

解答 解：如图所示，建立空间直角坐标系A-BDP．
A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，$\sqrt{3}$，0），D（0，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，1）．
$\overrightarrow{PC}$=（1，$\sqrt{3}$，-1），
设直线PC的一个法向量为$\overrightarrow{u}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{PC}$$•\overrightarrow{u}$=x+$\sqrt{3}$y-z=0，
取$\overrightarrow{u}$=（$\sqrt{3}$，-1，0）．
$\overrightarrow{PD}$=（0，$\sqrt{3}$，-1），
设平面PCD的一个法向量$\overrightarrow{v}$=（x₁，y₁，z₁），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{v}=0}\\{\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{v}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+\sqrt{3}{y}_{1}-{z}_{1}=0}\\{\sqrt{3}{y}_{1}-{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，
令z₁=$\sqrt{3}$，y₁=1，x₁=0，
∴$\overrightarrow{v}$=（0，1，$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．