题目内容
如图，在平面直角坐标系xoy中，已知F1，F2分别是椭圆E：
的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且
．（1）求椭圆E的离心率；
（2）已知点D（1，0）为线段OF2的中点，M 为椭圆E上的动点（异于点A、B），连接MF1并延长交椭圆E于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连接PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k1、k2，试问是否存在常数λ，使得k1+λk2=0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
【答案】分析：（1）由
，得
，从而有a+c=5（a-c），结合离心率定义即可求得答案；
（2）由点D（1，0）为线段OF2的中点可求得c值，进而可求出a值、b值，得到椭圆方程，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），则直线MD的方程为
，与椭圆方程联立及韦达定理可把P、Q坐标用M、N坐标表示出来，再根据三点M、F1、N共线及斜率公式可得k1、k2间的关系式，由此可得答案．
解答：解：（1）∵
，∴
．
∴a+c=5（a-c），化简得2a=3c，
故椭圆E的离心率为
．
（2）存在满足条件的常数λ，
．
∵点D（1，0）为线段OF2的中点，∴c=2，从而a=3，
，
左焦点F1（-2，0），椭圆E的方程为
．
设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），则直线MD的方程为
，
代入椭圆方程
，整理得，
．
∵
，∴
．
从而
，故点
．同理，点
．
∵三点M、F1、N共线，∴
，从而x1y2-x2y1=2（y1-y2）．
从而
．
故
，从而存在满足条件的常数λ，
．
点评：本题考查函数恒成立、三点共线及椭圆的简单性质，考查学生分析问题解决问题的能力，综合性强，难度大，对能力要求较高，属难题．
，得
，从而有a+c=5（a-c），结合离心率定义即可求得答案；（2）由点D（1，0）为线段OF2的中点可求得c值，进而可求出a值、b值，得到椭圆方程，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），则直线MD的方程为
，与椭圆方程联立及韦达定理可把P、Q坐标用M、N坐标表示出来，再根据三点M、F1、N共线及斜率公式可得k1、k2间的关系式，由此可得答案．解答：解：（1）∵
，∴
．∴a+c=5（a-c），化简得2a=3c，
故椭圆E的离心率为
．（2）存在满足条件的常数λ，
．∵点D（1，0）为线段OF2的中点，∴c=2，从而a=3，
，左焦点F1（-2，0），椭圆E的方程为
．设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），则直线MD的方程为
，代入椭圆方程
，整理得，
．∵
，∴
．从而
，故点
．同理，点
．∵三点M、F1、N共线，∴
，从而x1y2-x2y1=2（y1-y2）．从而
．故
，从而存在满足条件的常数λ，
．点评：本题考查函数恒成立、三点共线及椭圆的简单性质，考查学生分析问题解决问题的能力，综合性强，难度大，对能力要求较高，属难题．
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