题目内容
在△ABC中，A=90°，点M为BC边的中点，在AB、AC边上分别取P、Q点，使得∠PMQ=90°．求证：（1）
| CQ |
| BP |
| BM |
| MQ |
| MP |
| BM |
（2）|
| BP |
| MP |
| MQ |
| CQ |
分析：（1）根据点M为BC边的中点，∠PMQ=90°，故
=
，
•
=0则将向量
与
用
、
、
、
表示，通过化简整理可证得结论；
（2）欲证|
|2-|
|2=|
|2-|
|2，先证|
|2+|
|2=|
|2+|
|2，将向量
与
用
、
、
、
表示，结合（1）可证得结论．
| CM |
| MB |
| MQ |
| MP |
| CQ |
| BP |
| CM |
| MQ |
| BM |
| MP |
（2）欲证|
| BP |
| MP |
| MQ |
| CQ |
| BP |
| CQ |
| MP |
| MQ |
| CQ |
| BP |
| CM |
| MQ |
| BM |
| MP |
解答：（本小题满分12分）
证明：（1）∵
=
+
，
=
+
，…（1分）
∴
•
+
•
+
•
+
•
．…（3分）
由
⊥
，得
•
=0．又
=
，…（4分）
∴
•
=-
2-
•
+
•
，
即
•
=
•(
-
-
)． …（6分）
（2）∵|
|2+|
|2=(
+
)2+（
+
）2
=2（
2+
•
+
•
）+（
2+
2）
=2
（
+
-
）+（
2+
2），…（8分）
又
⊥
，
∴
•
=0．
由（1），知
•(
-
-
)=
•
=0． …（10分）
∴|
|2+|
|2=
2+
2=|
|2+|
|2，
即|
|2-|
|2=|
|2-|
|2． …（12分）
（注：本题的两小题有多种解法，如建立直角坐标系，用向量的坐标运算求解，等等．请参照本评分标准精神给分）
证明：（1）∵
| CQ |
| CM |
| MQ |
| BP |
| BM |
| MP |
∴
| CQ |
| BM |
| CM |
| MP |
| MQ |
| BM |
| MQ |
| MP |
由
| MQ |
| MP |
| MQ |
| MP |
| CM |
| MB |
∴
| CQ |
| BP |
| BM |
| BM |
| MP |
| MQ |
| BM |
即
| CQ |
| BP |
| BM |
| MQ |
| MP |
| BM |
（2）∵|
| BP |
| CQ |
| BM |
| MP |
| CM |
| MQ |
=2（
| BM |
| BM |
| MP |
| CM |
| MQ |
| MP |
| MQ |
=2
| BM |
| BM |
| MP |
| MQ |
| MP |
| MQ |
又
| CQ |
| BP |
∴
| CQ |
| BP |
由（1），知
| BM |
| MQ |
| MP |
| BM |
| CQ |
| BP |
∴|
| BP |
| CQ |
| MP |
| MQ |
| MP |
| MQ |
即|
| BP |
| MP |
| MQ |
| CQ |
（注：本题的两小题有多种解法，如建立直角坐标系，用向量的坐标运算求解，等等．请参照本评分标准精神给分）
点评：本题忽悠考查了向量在几何中应用，以及平面向量数量积的运算，同时考查了转化的思想，属于中档题．
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