Question

已知函数在x=1处取得极值，且a＞3
（1）求a与b满足的关系式；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）设函数g（x）=a²x²+3，若存在，使得|f（m₁）-g（m₂）|＜9成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）求导函数，利用函数在x=1处取得极值，可得a与b满足的关系式；
（2）确定函数f（x）的定义域，求导函数，确定分类标准，从而可得函数f（x）的单调区间；
（3）当a＞3时，确定f（x）在[，2]上的最大值，g（x）在[，2]上的最小值，要使存在m₁，m₂∈[，2]，使得|f（m₁）-g（m₂）|＜9成立，只需要|f（x）_max-g（x）_min|＜9，即可求得a的取值范围．
解答：解：（1）∵，
∴f′（x）=1--，
∵在x=1处取得极值，
∴f′（1）=0，
∴1-a-b=0，即b=1-a．
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
由（1）可得f′（x）=1--==，
令f′（x）=0，则x₁=1，x₂=a-1．
∵a＞3，x₂＞x₁，当x∈（0，1）∪（a-1，+∞）时，f^′（x）＞0；
当x∈（1，a-1）时，f^′（x）＜0．
∴f（x）的单调递增区间为（0，1），（a-1，+∞）；单调递减区间为（1，a-1）．
（3）当a＞3时，f（x）在[，1）上为增函数，在（1，2]为减函数，
所以f（x）的最大值为f（1）=2-a＜0．
因为函数g（x）在[，2]上是单调递增函数，
所以g（x）的最小值为g（）=a²+3＞0．
所以g（x）＞f（x）在[，2]上恒成立．
要使存在m₁，m₂∈[，2]，使得|f（m₁）-g（m₂）|＜9成立，只需要g（）-f（1）＜9，
即a²+3-（2-a）＜9，
所以-8＜a＜4． 
又因为a＞3，所以a的取值范围是（3，4）．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，解题的关键是正确求导，确定分类标准，利用函数的最值解决恒成立问题．