Question

已知函数在x=1处取到极值2
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设函数g（x）=ax-lnx．若对任意的，总存在唯一的，使得g（x₂）=f（x₁），求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中，函数，易求出导函数的解析式，再由函数在x=1处取到极值2，其导函数在x=1处等0，易构造一个关于m的方程，解方程求出m值，即可得到f（x）的解析式；
（Ⅱ）由（I）我们可以求出函数导函数的解析式，进而可分别出函数f（X）的单调性，由此易判断f（x）在区间[，2]上的值域，由对任意的，总存在唯一的，使得g（x₂）=f（x₁），及函数g（x）=ax-lnx．我们分别对a值与e及e²的关系进行分类讨论，即可得到满足条件的实数a的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）==
f（x）在x=1处取到极值2，故f′（1）=0，f（1）=2即，
解得m=4，n=1，经检验，此时f（x）在x=1处取得极值．故
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故f（x）在上单调递增，在（1，2）上单调递减，由，故f（x）的值域为
依题意，记，∵x∈M∴
（ⅰ）当a≤e时，g'（x）≤0，g（x），依题意由得，
故此时
（ⅱ）当e＜a≤e²时，＞＞当时，g′（x）＜0，当时，g′（x）＞0．依题意由，得，即．与a＞e矛盾
（ⅲ）当a＞e²时，＜，此时g′（x）＞0，g（x）．依题意得 即此不等式组无解综上，所求a取值范围为0≤a≤e
点评：本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，函数解析式的求解及常用方法，函数在某点取得极值的条件，其中根据已知条件构造关于m的方程，进而求出函数f（x）的解析式是解答的关键．