Question

1．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ y≤x\\ 2x+y-9≤0\end{array}\right.$，这z=$\frac{1}{3}$x-y的最小值是-2，$\frac{x-1}{{\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}}}$的取值范围是[-1，1]．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数求得z=$\frac{1}{3}$x-y的最小值；然后利用$\frac{x-1}{{\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}}}$的几何意义，即可行域内的动点（（1，0）除外）（x，y）与定点（1，0）横坐标的差除以与定点（1，0）的距离，对x分类求得$\frac{x-1}{{\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}}}$的取值范围，取并集得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ y≤x\\ 2x+y-9≤0\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{2x+y-9=0}\end{array}\right.$，解得A（3，3），
化目标函数z=$\frac{1}{3}$x-y为y=$\frac{x}{3}-z$，
由图可知，当直线y=$\frac{x}{3}-z$过A（3，3）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为$\frac{3}{2}-3=-2$；
$\frac{x-1}{{\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}}}$的几何意义为可行域内的动点（（1，0）除外）（x，y）与定点（1，0）横坐标的差除以与定点（1，0）的距离，
当x＞1时，0＜$\frac{x-1}{{\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}}}$≤1；
当x=1（y≠0）时，$\frac{x-1}{{\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}}}$=0；
当0≤x＜1时，-1≤$\frac{x-1}{{\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}}}$＜0．
∴$\frac{x-1}{{\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}}}$的取值范围是[-1，1]．
故答案为：-2，[-1，1]．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查数学转化思想方法，是中档题．