题目内容

试用数学归纳法证明n3－3n2＋8n－6能被6整除．

答案：
解析：

　　证明：(1)当n＝1时，13－3×12＋8×1－6＝0能被6整除．

　　(2)假设当n＝k时结论正确，即k3－3k2＋8k－6能被6整除，

　　则当n＝k＋1时，

　　(k＋1)3－3(k＋1)2＋8(k＋1)－6＝(k3－3k2＋8k－6)＋3k(k＋1)＋6．

　　∵3k(k＋1)和6都能被6整除，

　　∴当n＝k＋1时结论正确．

　　由(1)(2)可知命题成立．

　　思路分析：与自然数n有关的命题都可以用数学归纳法证明．


提示：

用数学归纳法证明整除性问题时，注意构造出归纳假设来，用上假设证明出．


练习册系列答案
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精英家教网用a，b，c，d四个不同字母组成一个含n+1（n∈N+）个字母的字符串，要求由a开始，相邻两个字母不同．例如n=1时，排出的字符串是ab，ac，ad；n=2时排出的字符串是aba，abc，abd，aca，acb，acd，ada，adb，adc，…，如图所示．记这含n+1个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是a的字符串的种数为an．
（1）试用数学归纳法证明：an=
3n+3(-1)n
4
(n∈N*，n≥1)；
（2）现从a，b，c，d四个字母组成的含n+1（n∈N*，n≥2）个字母的所有字符串中随机抽取一个字符串，字符串最后一个的字母恰好是a的概率为P，求证：
2
9
≤P≤
1
3
．
已知：（x+1）n=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+a3（x-1）3+…+an（x-1）n（n≥2，n∈N*）
（1）当n=5时，求a0+a1+a2+a3+a4+a5的值．
（2）设bn=
a2
2n-3
，Tn=b2+b3+b4+…+bn．试用数学归纳法证明：当n≥2时，Tn=
n(n+1)(n-1)
3
．
已知数列{an}为等差数列，且有a3-a6+a10-a12+a15=20，a7=14．
（Ⅰ）求数列{an}的通项an及其前n项和Sn；
（Ⅱ）记数列{
1
S
2
n
}的前n项和为Tn，试用数学归纳法证明对任意n∈N*，都有Tn≤
3
4
-
1
n+1
．
数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn=anan+1an+2（n∈N*），数列{bn}的前n项和为Sn．
（1）若数列{an}的公差d等于首项a1，试用数学归纳法证明：对于任意n∈N*，都有Sn=
b1an+34d
；
（2）若数列{an}满足：3a5=8a12＞0，试问n为何值时，Sn取得最大值？并说明理由．
（2012•黄浦区一模）已知a＜b，且a2-a-6=0，b2-b-6=0，数列{an}、{bn}满足a1=1，a2=-6a，an+1=6an-9an-1(n≥2，n∈N*)，bn=an+1-ban(n∈N*)．
（1）求证数列{bn}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式an；
（3）若{cn}满足c1=1，c2=5，cn+2=5cn+1-6cn(n∈N*)，试用数学归纳法证明：cn +acn-1=
an3n-2
(n≥2，n∈N*)．

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