题目内容
数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn=anan+1an+2（n∈N*），数列{bn}的前n项和为Sn．（1）若数列{an}的公差d等于首项a1，试用数学归纳法证明：对于任意n∈N*，都有Sn=
| b1an+3 | 4d |
（2）若数列{an}满足：3a5=8a12＞0，试问n为何值时，Sn取得最大值？并说明理由．
分析：（1）当n=1时，S1=b1，
=
=b1，原式成立．假设当n=k时，Sk=
成立，由此证明n=k+1时，等式仍然成立．
（2）由3a5=8a12＞0，知3a5=8（a5+7d），a5=-
＞0，所以d＜0．由a16=a5+11d=-
＞0，a17=a5+12d=
＜0，知a1＞a2＞a3＞…＞a16＞0＞a17＞a18，b1＞b2＞b3＞…＞b14＞0＞b17＞b18，由此能够推导出Sn中S16最大．
| b1a4 |
| 4d |
| b1(d+3d) |
| 4d |
| bkak+3 |
| 4d |
（2）由3a5=8a12＞0，知3a5=8（a5+7d），a5=-
| 56d |
| 5 |
| d |
| 5 |
| 4d |
| 5 |
解答：解：（1）证明：当n=1时，S1=b1，
=
=b1，原式成立．（1分）
假设当n=k时，Sk=
成立，（2分）
则Sk+1=Sk+bk+1=
（4分）
=
=
=
=
（6分）
所以n=k+1时，等式仍然成立，故对于任意n∈N*，都有Sn=
；（8分）
（2）因为3a5=8a12＞0，所以3a5=8（a5+7d），a5=-
＞0，所以d＜0
又a16=a5+11d=-
＞0，a17=a5+12d=
＜0，（11分）
所以a1＞a2＞a3＞…＞a16＞0＞a17＞a18，b1＞b2＞b3＞…＞b14＞0＞b17＞b18，
因为b15=a15a16a17＜0，b16=a16a17a18＞0，（13分）
a15=a5+10d=-
＞0，a18=a5+13d=
＜0，
所以a15＜-a18，所以b15＞-b16，b15+b16＞0，（15分）
故S16＞S14，所以Sn中S16最大．（16分）
| b1a4 |
| 4d |
| b1(d+3d) |
| 4d |
假设当n=k时，Sk=
| bkak+3 |
| 4d |
则Sk+1=Sk+bk+1=
| bkak+3+bk+14d |
| 4d |
=
| akak+1ak+2ak+3+bk+14d |
| 4d |
| akbk+1+bk+14d |
| 4d |
| bk+1(ak+4d) |
| 4d |
| bk+1ak+4 |
| 4d |
所以n=k+1时，等式仍然成立，故对于任意n∈N*，都有Sn=
| bnan+3 |
| 4d |
（2）因为3a5=8a12＞0，所以3a5=8（a5+7d），a5=-
| 56d |
| 5 |
又a16=a5+11d=-
| d |
| 5 |
| 4d |
| 5 |
所以a1＞a2＞a3＞…＞a16＞0＞a17＞a18，b1＞b2＞b3＞…＞b14＞0＞b17＞b18，
因为b15=a15a16a17＜0，b16=a16a17a18＞0，（13分）
a15=a5+10d=-
| 6d |
| 5 |
| 9d |
| 5 |
所以a15＜-a18，所以b15＞-b16，b15+b16＞0，（15分）
故S16＞S14，所以Sn中S16最大．（16分）
点评：本题考查数列和函数的综合运用，解题时要认真审题，注意数列归纳法的合理运用，恰当地进行等价转化．
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