Question

已知：（x+1）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³+…+a_n（x-1）ⁿ（n≥2，n∈N^*）
（1）当n=5时，求a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅的值．
（2）设bn=

a2

2n-3

，T_n=b₂+b₃+b₄+…+b_n．试用数学归纳法证明：当n≥2时，Tn=

n(n+1)(n-1)

3

．

Answer 1

分析：（1）通过给等式中的x赋值2求出展开式的系数和．
（2）将二项式的底数写成（x-1）+2形式，利用二项展开式的通项公式求出a₂，求出b_n，利用数学归纳证明等式．

解答：解：（1）当n=5时，
原等式变为（x+1）⁵=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³+a₄（x-1）⁴+a₅（x-1）⁵
令x=2得a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=3⁵=243
（2）因为（x+1）ⁿ=[2+（x-1）]ⁿ所以a₂=C_n²•2^n-2
bn=

a2

2n-3

=2

C

2 n

=n(n-1)(n≥2)
①当n=2时．左边=T₂=b₂=2，右边=

2(2+1)(2-1)

3

=2
左边=右边，等式成立．
②假设当n=k（k≥2，k∈N^*）时，等式成立，即Tk=

k(k+1)(k-1)

3

那么，当n=k+1时，
左边=Tk+bk+!=

k(k+1)(k-1)

3

+(k+1)[(k+1)-1]=

k(k+1)(k-1)

3

+k(k+1)=k(k+1)(

k-1

3

+1)=

k(k+1)(k+2)

3

=

(k+1)[(k+1)+1][(k+1)-1]

3

=右边．
故当n=k+1时，等式成立．
综上①②，当n≥2时，Tn=

n(n+1)(n-1)

3

点评：本题考查赋值法是求展开式的系数和常用的方法、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题、
考查利用数学归纳法证明恒等式．