Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，CD∥AB，AD⊥AB，AD=DC=mAB，BC⊥PC．
（1）当m=

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2

时，求证：PA⊥BC；
（2）当m=

1

3

时，试在线段PB上找一点M，使CM∥平面PAD，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）欲证PA⊥BC，可将PA放在面PAC内，证明BC⊥平面PAC即可，连接AC，过C作CE⊥AB，垂足为E，AC⊥BC，又因为BC⊥PC，AC∩PC=C，AC?平面PAC，PC?平面PAC，满足线面垂直的判定定理；
（2）欲证CM∥平面PAD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证CM与平面PAD内一直线平行即可，当M为PB中点时取AP中点为F，连接CM，FM，DF，CM∥DF，DF?平面PAD，CM?平面PAD，满足定理条件．

解答：证明：（1）连接AC，过C作CE⊥AB，垂足为E，
在四边形ABCD中，AD⊥AB，CD∥AB，
当m=

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2

时，
AD=DC，所以四边形ADCE是正方形．
所以∠ACD=∠ACE=45°
因为AE=CD=

1

2

AB，所以BE=AE=CE
所以∠BCE═45°
所以∠ACB=∠ACE+∠BCE=90°
所以AC⊥BC，又因为BC⊥PC，AC∩PC=C，AC?平面PAC，PC?平面PAC
所以BC⊥平面PAC，而PA?平面PAC，所以PA⊥BC．（7分）
解：（2）当m=

1

3

时，M点满足PM=

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3

PB，CM∥平面PAD，（8分）
证明：取AP的三等分点F，连接CM，FM，DF．则FM∥AB，FM=

1

3

AB，
因为CD∥AB，CD=

1

3

AB，所以FM∥CD，FM=CD．（10分）
所以四边形CDFM为平行四边形，所以CM∥DF，（11分）
因为DF?平面PAD，CM?平面PAD，所以，CM∥平面PAD．（13分）

点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及空间中直线与直线之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．