Question

如图，⊙O的直径AB=4，点C、D为⊙O上两点，且∠CA B=45^o，∠DAB=60^o，F为的中点．沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图）．

（1）求证：OF//平面ACD；

（2）求二面角C- AD-B的余弦值；

（3）在上是否存在点G，使得FG∥平面ACD?若存在，试指出点G的位置，并求直线AG与平面ACD所成角的正弦值；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）只需证；（2）；（3）。

【解析】

试题分析：（法一）：证明：（1）如右图，连接，     

，，

又为的中点，，

．

平面，平面，

平面．3分

解：（2）过作于，连．     

，平面⊥平面．    

⊥平面．

又平面，

，

平面，，

则∠是二面角的平面角．       5分

，， ．

由⊥平面，平面，得为直角三角形，

，．

==．  8分

（3）设在上存在点，使得//平面，

平面， 平面平面，

，．

因此，在上存在点，使得//平面，且点为的中点．10分

连，设与平面所成角为，点到平面的距离为．

===，==，

由=，得=，得．   12分

在中，，，由余弦定理得=，13分

=．           14分

（法二）：证明：（1）如图，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以为原点，作空间直角坐标系，则，．

，

点为的中点，点的坐标为，．

，即．

平面，平面，

平面．       3分

解：（2），点的坐标，．

设二面角的大小为，为平面的一个法向量．

由 有 即

取，解得，．

=．                  5分

取平面的一个法向量=，   6分

．8分

（3）设在上存在点，使得//平面，

平面，

平面平面，则有．

设，，．

又，，解得（舍去）．

，则为的中点．

因此，在上存在点，使得//平面，且点为的中点．11分

设直线与平面所成角为，

，

根据（2）的计算为平面的一个法向量，

．

因此，直线与平面所成角的正弦值为．   14分

考点：线面角；二面角；面面垂直的性质定理；线面平行的判定定理、

点评：（1）本题主要考察空间点、线、面位置关系，线面角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力．（2）二面角的求法是立体几何中的一个难点。我们解决此类问题常用的方法有两种：①综合法，综合法的一般步骤是：一作二说三求。②向量法，运用向量法求二面角应注意的是计算。很多同学都会应用向量法求二面角，但结果往往求不对，出现的问题就是计算错误。