Question

在数列{a_n}中，a₁＝1，a_n＋1＝2a_n＋2ⁿ.

(1)设b_n＝.证明：数列{b_n}是等差数列；

(2)求数列{a_n}的前n项和．

Answer 1

(1)证明　由已知a_n＋1＝2a_n＋2ⁿ，

得b_n＋1＝＋1＝b_n＋1.

∴b_n＋1－b_n＝1，又b₁＝a₁＝1.

∴{b_n}是首项为1，公差为1的等差数列．

(2)解　由(1)知，b_n＝n，＝b_n＝n.∴a_n＝n·2^n－1.

∴S_n＝1＋2·2¹＋3·2²＋…＋n·2^n－1

两边乘以2得：2S_n＝1·2¹＋2·2²＋…＋(n－1)·2^n－1＋n·2ⁿ，

两式相减得：－S_n＝1＋2¹＋2²＋…＋2^n－1－n·2ⁿ

＝2ⁿ－1－n·2ⁿ＝(1－n)2ⁿ－1，

∴S_n＝(n－1)·2ⁿ＋1.