Question

已知双曲线C的中心为坐标原点O，右顶点为A(1，0)，G为双曲线C的右准线与x轴的交点，P、Q为双曲线C上不同两点，且满足≠0，=0．

(Ⅰ)求双曲线C的方程；

(Ⅱ)若直线FQ按向量a=(0，1)平移后所得直线与双曲线C交于不同两点M、N，当-≤≤-时，求直线PQ的斜率的取值范围．

Answer 1

解：(Ⅰ)设双曲线C的方程为=1(a＞0，b＞0)，

∵右顶点为A(1，0)，

∴a=1，∴ (其中c=)，

∴G点坐标为(，0)．

设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，则

=(x₁-，y₁)，=(x₂-，y₂)，

=(1-，0)，

∵=0

∴

则∴

又P、Q在双曲线C上，

,作差并整理得，

(x₁+x₂)(x₁-x₂)= ③,

∵≠0，∴x₁≠x₂.

将②代入③得，x₁+x₂=0，

代入①得0=-1,∴c=3，∴b²=c²-a²=8．

∴双曲线C的方程为：x²-=1.

(Ⅱ)设直线PQ的斜率为k，由(Ⅰ)知直线PQ过原点，

∴直线PQ的方程为：y=kx，代入C：x²-=1并整理得(8-k²)x²=8，

∴8-k²＞0，∴k²＜8，

直线MN是由直线PQ按a=(0，1)平移得到，故可设直线MN的方程为：y=kx+l，代入C：x²-=1消去y并整理，得(8-k²)x²-2kx-9=0，

由A=4k²+36(8-k²)=288-32k²＞0，

解得k²＜9，

故知在k²＜8的条件下，直线MN与双曲线总有两个交点．

设这两个交点为M(x₃，y₃)，N(x₄，y₄)，则

x₃+x₄=  ，x₃x₄=,

∵y₃=kx₃+1,y₄=kx₄+1，

∴y₃y₄=(kx₃+1)(kx₄+1)=k²x₃x₄+k(x₃+x₄)+1，

∴=(x₃，y₃)·(x₄，y₄)=x₃x₄+y₃y₄

=(1+k²)x₃x₄+k(x₃+x₄)+1

=(1+k₂)·+1

=,

由≤≤，得≤≤,

由此可知1≤k²≤2≤≤．

∴直线PQ的斜率的取值范围为：[，-1]∪[1，]．